第四章
《平方數與自然數之間微妙的關係》

平方數是自然數嗎?或者反過來,自然數都是平方數嗎?這是個很大的問題!如果我說,任何自然數都隱藏一個一的平方這樣一個數,現在很多人一定認為這個人瘋掉了!根本不懂數學。我想沒有幾個人有耐心關注這個隱藏的一的平方,所以,人們就理所當然的和自然數混淆起來,胡糊塗塗的用,為了方便還把那些不能寫成AB形式的自然數,稱謂素數,帶來很大很多的麻煩。由於兩者的關係十分微妙:特別是那些貌似平方數的自然數的一些一般性質,那些“不能整除”的自然數,什麼無理數應運而生了。

我們應該從何入手認識平方根概念的來源呢？從邏輯正方來理解呢，還是從教科書和大詞典的定義來理解呢？是從是行數及列數皆相同的方塊矩陣，還是正方形的邊長上分析，還是從數本身的概念出發呢？

有許多數學家曾經研究過什麼樣的整數可表為兩個整數的平方和。我們發現，每一個中心數都是這樣的形式：而且這個整數將所有的自然數都放進中心裡去了：這就是所謂的“無過而不及”。

反過來思考，我們發現如此一來，是結構決定論：就是說，以五行為中的九籌結構能夠讓所有的整數有秩序的經過中心數：想讓每一個自然數顯示其通過“中心”，條件是將正方定義為奇平方：
因此，

勾股定理
a2 + b2 = c2    a=2n-1 		五行中心數無過不及
c = n2 + (n+1)2		 八卦九籌的三角形數形式
n2 =8 ∆n + 1
32 + 42 = 52
52 + 122 = 132
72 + 242 = 252
92 + 402= 412
112 + 602= 612
132 + 842 = 852
152 + 1122 = 1132
172 + 1442 = 1452 		5 = 12 + (1+1)2
13 = 22 + (2+1)2
25 = 32 + (3+1)2
41 = 42 + (4+1)2
61 = 52 + (5+1)2
85 = 62 + (6+1)2
113 = 72 + (7+1)2
145 = 82 + (8+1)2 		32 =8 ∆1 + 1
52 =8 ∆3 + 1
72 =8 ∆6 + 1
92 =8 ∆10 + 1
112 = 8∆15 + 1
132 = 8∆21 + 1
152 = 8∆28 + 1
172 = 8∆36 + 1


如果不限制x 和y ,須為正整數（只要是整數即可），那麼將25表為
25=x2+y2 的方法總共有12種，
分別是(x, y) = (5,0), (0,5), (−5,0), (0,−5),(3, 4), (−3, 4), (3, −4), (−3, −4), (4, 3), (−4, 3), (4, −3),
(−4, −3)。
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