第四章
《乘法有兩種定義法》

從理論上講，乘法有兩種定義法，一種是以集合為基礎概念，另一種是以加法為基礎概念．求幾個相同加數的和的簡便運算，叫做乘法。

在邏輯上對乘法的概念的定義有其獨特的要求:這個要求是什麼?
以集合為基礎概念。

如果完全以集合為基礎，乘法就由三部分構成：基本元素，與基本元素之間的和形成的集合元素，自然數本身是邏輯的集合。就是說，自然數是作為由三生萬物生成的邏輯元素本身的集合概念使用的。所以，在算術中，乘法代表了邏輯的集合概念。

在這個層面上,我們會不會立刻聯想到九九乘法表和原始邏輯圖的直接關係呢?這與常識中乘法運算顯然有了很大差別。這個差別可以在元邏輯圖中以一種特別清晰特徵顯示出來，它就是九九歌！九九歌本質上顯示給我們的不是自然數與自然數之間的集合關係，而是自然數內在的邏輯事實。

反過來說,有一些自然數貌似平方數,可在邏輯上,它們卻與平方數無關,可是,他們阿拉伯數位的符號形式完全相同,如果不在原始邏輯圖上討論,任何一個人,包括高明的數學大師都是無法斷定的。這是數論通常不被人們理解, 學習數學中很艱難的事情。

諸如，1，11，21，31，41，51，61，71，81，這九個自然數，表達的邏輯集合的概念是：一一得一，二二得四，三三得九，四四十六，五五二十五，六六三十六，七七四十九，八八六十四，九九八十一。

其意義是“邏輯元素自身與自身的組合”於是可用阿拉伯數字形式寫成：
1×1=1，2×2=4，3×3=9，4×4=16，5×5=25，6×6=36，7×7=49，8×8=64，9×9=81。

而這樣的寫法卻很容易造成自然數與邏輯運算上的誤解。邏輯上這裡的“積”是“平方”，什麼是平方，平方即一個邏輯元素自身與它自身的集合（組合）。就是說，這裡的“邏輯平方數”與自然數不僅概念不同，其“數”也是不同的：
1，11，21，31，41，51，61，71，81，這九個自然數的位置上，恰恰表達了
12，22，32，42，52，62，72，82，92，邏輯正方“”這條正方形的對角線：這裡化分出數如同自然發生的那樣“顯隱”特徵：將“一”這個數分出了“陰陽”，結果，八十一個自然數構成，變成了兩個九九八十一歌，一個正方邏輯圖變成了兩個直角三角形的“合”。這本身就證明瞭乘法概念與邏輯元素的關係非同一般：乘積法則的邏輯等價意義。這也說明在四則運演算法則為什麼必須規定“先乘除後加減”的運算次序：這是邏輯所要求的。
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