shutongxiaozi 书童小子 | 数学

第二章
《在中國數學原邏輯中的“零”》

關於零，弗萊格在《算術基礎》中解釋： 0， 0是適合“與自身不相等”這個概念的這個數。

從九九原始邏輯數圖上，我們首先看到零不是自然數的起點。原始邏輯上排列的自然數有10，20，30，40，50，60，70，80，就是說，0是從十位位置上才出現符號，0是佔有個位一個位置的數。從十位以上自然數排列次序看，10先於11，20先於21，30先於31，40先於41，50先於51，60先於61，70先於71，80先於81。而作爲象數的排列，中國有一個專有符號“十”, 一十的位置上就是10，二十是20。。。這樣看來，中國數的符號一二三四五六七八九十直接告訴我們，十是個位數上最大的，最後的，同時又是十位數上“最初的”十位以上“最小的”一個符號。

十字還被稱為十字梁木，是邏輯的結構，有著幾何坐標系等價功能。在天文學中，十幹又稱為天干。它同十二地支相配，形成六十為一週期的天文重心坐標系統。

這裏的“十”包含了“0”的概念。但並非能夠簡單處理為“無”, 非能夠簡單處理為“有”。這就是弗萊格先生直覺到的0：裏面包含了“矛盾”。幷認爲，一個概念含有矛盾，幷非總是顯而易見的不需要研究的。爲了進行研究，人們必須首先由這個概念，幷且像對待其他概念那樣對它進行邏輯探討。

弗萊格先生直覺到“0”裏面確包含了“矛盾”在象數中顯現出來，中國稱這個“矛盾”爲邏輯上的“錯綜”。“錯”了什麽“綜”？錯在這裏是指“位移”，不是錯誤。上下邏輯看，子為母的加一，貌似假“分數”的形式，是表達邏輯元素上下結合的錯位。明白了這一點點差別，我們就能明白中國古代 “以一當十”的典故了,以一當十告訴我們邏輯上一個數的分子和分母初始的排列秩序:

分母是從一開始，12345678，而分子是從二開始23456789，原始有了“措位”原始曰綜，萬物之宗，故錯綜。

這個問題後面專題給與幾何與數學的證明。將有異常精彩的表現，相信大家不會失望。

九九邏輯圖是一個正方圖，因此上面的邏輯元素的排列是有方位的。“十”的方位按照中國古代傳統，爲“左二右一”名數曰“成”，以一合二而成三，三極之數也天一，乾之始，地二，坤之終，人三，艮之成終成始也。一加九得十。因此，從一開始，“十”這個位置上的數存在三個不同的名稱：“十”（一十）象數“二一得二” ，自然序數10。蔡子定義“十”的意味：一之一。本人邏輯考證，蔡子的給出的定義是完全按照原邏輯給出的。一之一 賦予了二一得一的關係。

我們還用弗萊格先生提供的概念文字來分析這個原始邏輯意義上“十”（10）這個概念。

“與自身不相等”這個概念完全滿足“十”這個包含矛盾的概念。套用弗萊格先生的“概念詞“我們可以獲得一個判斷內容的一個普遍公式。就是：

“a處於F這個概念之下”

這裏的內容涉及一個對象a，幷且無論用什麽替代a，這個內容依然是可以判斷的。而在這種意義下，

“a處於‘與自身不相等’這個概念之下。

有

“a與自身不相等”

或者

“a不相等a”

是有相同意味的。
象數中的“十”恰好以一種純邏輯的形式揭示了弗萊格先生對零的概念分析的嚴密性。

已知，
十是個位數上最大的，最後的，同時又是十位數上“最初的”十位以上“最小的”一個符號。

也就是說，十這個數個位上的零並非是“空集”，非程式的理解“一”無非只有“有之存在”這樣的一個哲學概念，在邏輯層面上,零這個數必須出現在“一”之“後”,程式化的理解則是“有無相生”“無中生有”的先後秩序的無的後續。零和一的哲學關係與其邏輯形式關係就有明顯的差異:邏輯可以通過自身表達“有無相生”的同在：“先后”秩序相对,“内”“外”关系同在。這也就意味著,“零”也是一個數，在邏輯中存在著與“零”相等的“數”。看圖分析,我們知道,與10,20　,30,40,50,60,70,80,相等的數原來是很“原始的”的東西:我們把它稱為“三角形數”。
我們把握了這個概念下構造基本數理邏輯結構，才能完備的理解《周髀算經》的數之法，以及这个法则生成的“七衡六间”的天文学数学结构。

當分子和分母的概念同時出現在"十"這個概念的時候，邏輯元素的比初始呈現出錯綜關係比，十這個數顯然完全不同于“零”，也不同于“一”,以此類推，二十，三十，四十，五十，六十，七十，八十。。。個位數中的“零”的邏輯完全不同于零本身。唱九九歌得出；二一得一，三二得六，四三的一十二，五四得二十，六五得三十，七六得四十二，八七得五十六，九八得七十二。

這是什麼數呢?很有趣吧,原來它們是兩個三角形數的自和!

自然数	10	20	30	40	50	60	70	80	90
逻辑元素	2/1	3/2	4/3	5/4	6/5	7/6	8/7	9/8	?/?
三角形数	2∆₁	2∆₃	2∆₆	2∆₁₀	2∆₁₅	2∆₂₁	2∆₂₈	2∆₃₆	2∆₄₅

在九九邏輯圖上我們還能輕易發現其對稱的結構：

自然数	2	12	22	32	42	52	62	72
逻辑元素	1/2	2/3	3/4	4/5	5/6	6/7	7/8	8/9	?/?
三角形数	2∆₁	2∆₃	2∆₆	2∆₁₀	2∆₁₅	2∆₂₁	2∆₂₈	2∆₃₆	2∆₄₅

構造其對稱關係的正是邏輯上的 “平方數”（1,11,21,31,41,51,61,71,81）。

我們要細緻地劃分出他們並非一件容易的事情，因為他們的長相表面上如此的一致:要求我們採用不同的數學方法根據我們實際的需求構造處理，這就有了不同的數學形式。中國數學在零和一處理上,完全遵循了原始邏輯的排列的秩序,開發出九疇五行演算法,這是一種與邏輯元素自然數統一的很特別的二進位形式，它將自然數的123456789進行了二和五分，

(1+9=10)(2+8=10)(3+7=10)(4+6=10)(5+5=10)

二和即首尾相加,形成等量齊觀的五分之和:“二五一十” “四五二十” “五六三十” “五八四十”,巧妙的對應“一五得一五” “三五一十五” “五五二十五” “五七三十五” “五九四十五”…這個過程中個位數的123456789被簡化成“十”和“五”兩個數(5+5=10)。

這就是一種純邏輯的方法，也是數學的替代法則在構建概念中的優異的嘗試。從一個位置數的概念發現邏輯的強大功能。完全可以推廣到一般性概念的構造和分析之中。

可見，自然數是依據最簡單的邏輯構造出來的。幷且一定是整數，邏輯可産出計算方式，方法本身有規律可循。　

因此，在我看來，純思維能夠把握更高的真實。正如弗雷格說，從本質上說，思維在那裏都是一樣的，絕不能根據對象而考慮不同種類的思維規律，差別僅僅在於或多或少的純粹性，以及對心理影響和思維外在的輔助手段，比如語言，數字等等的或多或少的獨立性，此外，還在於概念構造的精緻性。但是，恰恰在這一點上，任何一門科學，即使是哲學，都不要期望會超過數學。

從中國原始數學的數之法則出發，不需借助任何其他的假設，我們只需要一個基本定理，就足以澄清自然數的基本性質。這顯示出中國原始數學的理性力量。

讀者會注意到整數討論絲毫不涉及西方的素數概念。這是有深刻的原始依據的。
從這個圖上讀者可以任意選擇，從發現矛盾和問題中展開數的分析，這是學習原始數論簡便方法，幷能從中獲得不斷發現的極大樂趣。