第一章
《如何看待傳統的三段論邏輯》

或許有人問，如何看待傳統的三段論邏輯？
一般認為，邏輯作爲一門科學，不僅研究個別的正確推理形式，而且還研究各種正確推理形式之間的關係和提出關於正確推理形式的系統理論。現代邏輯則應用更加嚴格的形式系統的方法來研究邏輯，提出了許多關於邏輯系統的元定理和元理論。

亞裏士多德的三段論理論，就是一個關于三段論的公理系統。我不把亞裏士多德在他的《工具論》奠定的邏輯科學列爲數理邏輯。

有兩個理由：首先，從亞裏士多德的排中律邏輯原理，他的三段論的語言的形式邏輯中，我們無法推出數學。這本身說明他把邏輯發展的基本次序顛倒了，是一種顛倒的邏輯。他本人也承認，他的邏輯是從數學中抽象出來的。而邏輯不是起源於數學，恰恰相反，是數學起源於邏輯，在《算術基礎》中，德國哲學家數學家，當代邏輯學之父弗萊格說：“數學是發展了的邏輯” 1弗雷格《算術基礎》P30。

其次，亞裏士多德的邏輯是有嚴重缺陷的以語言為基礎的邏輯，只處理動詞“是”的關係，并且这里的"是"關係中無法從邏輯上介入"不是"的概念。無法達到處理普遍意義上的關係諸如自變性同一性等價意義，無法解釋個體即整體，“一物兩體”二元特徵等等等等複雜系統的自相似。

而且，由於受到語言形式的局限，他的邏輯本質上受經驗支配，生硬的套用常會出現令人啼笑皆非的邏輯錯誤。
比如，A是一個P， B是一個P。因此，A和B都是P。照這個論斷推理：

約翰是一個哥哥，彼得是一個哥哥，因此，約翰彼得都是哥哥。顯然是個可笑的錯誤。

很多數學家早就發現了歐氏語言邏輯的問題，對此做了改造：即將現存的推理規則由符號形式來表達。符號化使科學家受益無窮。因爲符號的使用避免了心理上，認識上，形而上學等觀念性概念和意義的暗示。所有證明實質上不是邏輯起作用，而是符號轉換規則：這些規則用嚴密而實用的形式表達了正確的原理。然而，這不過是歐氏邏輯在語言中一個顯而易見的問題的數學替代辦法，還沒有涉及解決邏輯的構造基礎的核心，對語言邏輯的引發的語義歧義是採取了“數學的”回避的手段。

在真正數理化邏輯的方向上，只有到了弗萊格這裏才邁出了關鍵性的第一步。G.弗雷格爲了邏輯證明的嚴格性和探討能否從邏輯推出數學，就構造了一個邏輯系統。他在1879年出版的《概念文字》一書中，應用A,B,C,……作爲代表命題的符號，應用兩種圖形的符號分別表示否定和蘊涵這兩個邏輯概念。他列舉了其中包括全稱量詞和等詞的 9條公理，幷明確地提出肯定前件推理和替換作爲推理規則。這是歷史上第一個本身具有推理規則的一階邏輯公理系統。弗雷格也區別了作爲研究對象的對象語言和用來研究對象語言的元語言。羅素贊成弗雷格的看法，認爲數學能夠從邏輯推出。弗雷格和羅素這種看法通常叫做邏輯主義。在羅素與A.N.懷特海合寫的《數學原理》一書中，在應用無窮公理與選擇公理的條件下，推出了大部分數學。但這兩條公理卻不是邏輯的規律。因此，羅素與懷特海由邏輯推出數學的工作是不成功的。不過，由於他們的工作，數學與邏輯的差別和聯繫卻變得明確了。此外，在《數學原理》中，他們構造了一個命題演算和謂詞演算，發展了關係邏輯，提出了高階邏輯和防止悖論的類型論。

對數理邏輯進行了革命性地變革和貢獻證實了其舉足輕重的影響。他爲數和代數分析構造了一個新的基礎，這一基礎的嚴格性成爲計算機科學的基礎。

簡言之，我只把能夠從邏輯中推出數學的形式與過程稱爲“邏輯”。我同意弗萊格的斷言：數學是發展了的邏輯。因此，從數學自然能夠回到它的源頭：邏輯。這代表了自然秩序與思維形式的統一，是“返本歸真”，是真正的還原方法。
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