周髀算经

《卷上》 卷下

1) 昔者周公問於商高曰:「竊聞乎大夫善數也,請問古者包犧立周天曆度。夫天不可階而升,地不可得尺寸而度。 請問數安從出?」
2) 商高曰:「數之法,出於圓方。圓出於方,方出於矩。矩出於九九八十一。故折矩,以為句廣三,股脩四,徑隅五。既方之外,半其一矩。 環而共盤,得成三、四、五。兩矩共長二十有五,是謂積矩。故禹之所以治天下者,此數之所生也。」
3) 句股圓方圖:

4) 周公曰:「大哉言數!請問用矩之道?」
5) 商高曰:「平矩以正繩,偃矩以望高,覆矩以測深,臥矩以知遠,環矩以為圓,合矩以為方。 方屬地,圓屬天,天圓地方。方數為典,以方出圓。笠以寫天。天青黑,地黃赤。天數之為笠也,青黑為表,丹黃為裏,以象天地之位。 是故知地者智,知天者聖。智出於句,句出於矩。夫矩之於數,其裁制萬物,唯所為耳。」周公曰:「善哉!」
6) 昔者榮方問於陳子,曰:「今者竊聞夫子之道。知日之高大,光之所照,一日所行,遠近之數,人所望見,四極之窮,列星之宿,天地之廣袤,夫子之道皆能知之。 其信有之乎?」陳子曰:「然。」榮方曰:「方雖不省,願夫子幸而說之。今若方者可教此道邪?」陳子曰:「然。此皆算術之所及。子之於算,足以知此矣。若誠累思之。」
7) 於是榮方歸而思之,數日不能得。復見陳子曰:「方思之不能得,敢請問之。」陳子曰:「思之未熟。此亦望遠起高之術, 而子不能得,則子之於數,未能通類。是智有所不及,而神有所窮。夫道術,言約而用愽者,智類之明。問一類而以萬事達者,謂之知道。 今子所學,算數之術,是用智矣,而尚有所難,是子之智類單。夫道術所以難通者,既學矣,患其不博。既博矣,患其不習。既習矣,患其不能知。 故同術相學,同事相觀。此列士之愚智,賢不肖之所分。是故能類以合類,此賢者業精習智之質也。夫學同業而不能入神者, 此不肖無智而業不能精習。是故算不能精習,吾豈以道隱子哉?固復熟思之。」
8) 榮方復歸,思之,數日不能得。復見陳子曰:「方思之以精熟矣。智有所不及,而神有所窮,知不能得。 願終請說之。」陳子曰:「復坐,吾語汝。」於是榮方復坐而請。陳子說之曰:「夏至南萬六千里,冬至南十三萬五千里, 日中立竿測影。此一者天道之數。周髀長八尺,夏至之日晷一尺六寸。髀者,股也。正晷者,句也。正南千里,句一尺五寸。正北千里,句一尺七寸。 日益表南,晷日益長。候句六尺,即取竹,空徑一寸,長八尺,捕影而視之,空正掩日,而日應空之孔。由此觀之,率八十寸而得徑一寸。 故以句為首,以髀為股。從髀至日下六萬里,而髀無影。從此以上至日,則八萬里。若求邪至日者,以日下為句,日高為股。句、股各自乘,并而開方除之, 得邪至日,從髀所旁至日所十萬里。以率率之,八十里得徑一里。十萬里得徑千二百五十里。故曰,日晷徑千二百五十里。」
9) 日高圖:

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10) 法曰:「周髀長八尺,句之損益寸千里。故曰:極者,天廣袤也。今立表高八尺以望極,其句一丈三寸。 由此觀之,則從周北十萬三千里而至極下。」榮方曰:「周髀者何?」
11) 陳子曰:「古時天子治周,此數望之從周,故曰周髀。髀者,表也。日夏至南萬六千里,日冬至南十三萬五千里,日中無影。 以此觀之,從南至夏至之日中十一萬九千里。北至其夜半亦然。凡徑二十三萬八千里。此夏至日道之徑也,其周七十一萬四千里。 從夏至之日中,至冬至之日中十一萬九千里。北至極下亦然。則從極南至冬至之日中二十三萬八千里。從極北至其夜半亦然。 凡徑四十七萬六千里。此冬至日道徑也,其周百四十二萬八千里。從春秋分之日中北至極下十七萬八千五百里。從極下北至其夜半亦然。 凡徑三十五萬七千里,周一百七萬一千里。故曰:月之道常緣宿,日道亦與宿正。南至夏至之日中,北至冬至之夜半,南至冬至之日中, 北至夏至之夜半,亦徑三十五萬七千里,周一百七萬一千里。
12) 「春分之日夜分以至秋分之日夜分,極下常有日光。秋分之日夜分以至春分之日夜分,極下常無日光。 故春秋分之日夜分之時,日所照適至極,陰陽之分等也。冬至、夏至者,日道發歛之所生也至,晝夜長短之所極。 春秋分者,陰陽之脩,晝夜之象。晝者陽,夜者陰。春分以至秋分,晝之象。秋分至春分,夜之象。故春秋分之日中光之所照北極下, 夜半日光之所照亦南至極。此日夜分之時也。故曰:日照四旁各十六萬七千里。
13) 「人望所見,遠近宜如日光所照。從周所望見北過極六萬四千里,南過冬至之日三萬二千里。夏至之日中, 光南過冬至之日中光四萬八千里,南過人所望見一萬六千里,北過周十五萬一千里,北過極四萬八千里。
冬至之夜半日光南不至人所見七千里, 不至極下七萬一千里。夏至之日中與夜半日光九萬六千里過極相接。
冬至之日中與夜半日光不相及十四萬二千里,不至極下七萬一千里。 夏至之日正東西望,直周東西日下至周五萬九千五百九十八里半。冬至之日正東西方不見日。以算求之,日下至周二十一萬四千五百五十七里半。 凡此數者,日道之發歛。冬至、夏至,觀律之數,聽鐘之音。冬至晝,夏至夜。差數及,日光所還觀之,四極徑八十一萬里,周二百四十三萬里。
14) 「從周至南日照處三十萬二千里,周北至日照處五十萬八千里,東西各三十九萬一千六百八十三里半。 周在天中南十萬三千里,故東西矩中徑二萬六千六百三十二里有奇。周北五十萬八千里。冬至日十三萬五千里。 冬至日道徑四十七萬六千里,周一百四十二萬八千里。日光四極當周東西各三十九萬一千六百八十三里有奇。」
15) 此方圓之法。


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16) 萬物周事而圓方用焉,大匠造制而規矩設焉,或毀方而為圓,或破圓而為方。方中為圓者謂之圓方,圓中為方者謂之方圓也。
17) 七衡圖:


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18) 凡為此圖,以丈為尺,以尺為寸,以寸為分,分一千里。凡用繒方八尺一寸。今用繒方四尺五分,分為二千里。
19) 呂氏曰:「凡四海之內,東西二萬八千里,南北二萬六千里。」
20) 凡為日月運行之圓周,七衡周而六間,以當六月節。六月為百八十二日、八分日之五。故日夏至在東井極內衡,日冬至在牽牛極外衡也。 衡復更終冬至。故曰:一歲三百六十五日、四分日之一,一歲一內極,一外極。三十日、十六分日之七,月一外極,一內極。是故衡之間萬九千八百三十三里、 三分里之一,即為百步。欲知次衡徑,倍而增內衡之徑。二之以增內衡徑。次衡放此。
21) 內一衡徑二十三萬八千里,周七十一萬四千里。分為三百六十五度、四分度之一,度得一千九百五十四里二百四十七步、千四百六十一分步之九百三十三。
22) 次二衡徑二十七萬七千六百六十六里二百步,周八十三萬三千里。分里為度,度得二千二百八十里百八十八步、千四百六十一分步之千三百三十二。
23) 次三衡徑三十一萬七千三百三十三里一百步,周九十五萬二千里。分為度,度得二千六百六里百三十步、千四百六十一分步之二百七十。
24) 次四衡徑三十五萬七千里,周一百七萬一千里。分為度,度得二千九百三十二里七十一步、千四百一十分步之六百六十九。
25) 次五衡徑三十九萬六千六百六十六里二百步,周一百一十九萬里。分為度,度得三千二百五十八里十二步、千四百六十一分步之千六十八。
26) 次六衡徑四十三萬六千三百三十三里一百步,周一百三十萬九千里。分為度,度得三千五百八十三里二百五十四步、千四百六十一分步之六。
27) 次七衡徑四十七萬六千里,周一百四十二萬八千里。分為度,得三千九百九里一百九十五步、千四百六十一分步之四百五。
28) 其次,日冬至所北照,過北衡十六萬七千里。為徑八十一萬里,周二百四十三萬里。分為三百六十五度四分度之一, 度得六千六百五十二里二百九十三步、千四百六十一分步之三百二十七。過此而往者,未之或知。或知者,或疑其可知,或疑其難知。此言上聖不學而知之。 故冬至日晷丈三尺五寸,夏至日晷尺六寸。冬至日晷長,夏至日晷短。日晷損益,寸差千里。故冬至、夏至之日,南北遊十一萬九千里,四極徑八十一萬里, 周二百四十三萬里。分為度,度得六千六百五十二里二百九十三步、千四百六十一分步之三百二十七。此度之相去也。
29) 其南北游,日六百五十一里一百八十二步、一千四百六十一分步之七百九十八。
30) 術曰:置十一萬九千里為實,以半歲一百八十二日、八分日之五為法,而通之,得九十五萬二千,為實。所得一千四百六十一為法,除之。 實如法得一里。不滿法者,三之,如法得百步。不滿法者,十之,如法得十步。不滿法者,十之,如法得一步。不滿法者,以法命之。


卷下